《普通高中数学课程标准》第15页:“在高中数学课程中,集合是刻画一类事物的语言和工具.”从这一句话中可以看出,集合具有“语言”和“工具”双重性质.在很多老师看来,集合是非常简单的,在高考中也是“送分题”.实际上,集合的学习不应该止步于应付高考,应该把集合的学习上升一个高度和难度,打好高中数学学习的基础.
在集合中,有以下几个问题值得注意,虽不是核心,却也有趣.以下所提到的教材有
2019年版人民教育出版社A、B版、北京师范大学出版社、上海教育出版社版、2020年版江苏凤凰教育出版社、湖南教育出版社、2021年版湖北教育出版社.
1.类似于
这样的符号为什么只有湘教版有?
已知的七个版本的新教材中,只有湘教版提出了
等这些符号,其他版本的教材都没有提到.那么,有必要定义这些符号的含义吗?为什么其他教材不使用这些符号?我们应该思考定义这些符号的必要性与实用性,如果不使用这些符号,是否对集合的学习构成影响.我的感觉是这些符号虽然有一定的便利,但是并不是必须的,而且对于集合的学习没有任何影响.你认为呢?
2.描述法冷知识
在人教A版教材中,对于描述法的符号表示,在常见表示方法
之外,在教材中又补充了两种表示方法,一是
,二是
,也就是把中间的“竖线”换成了冒号或者分号,而其他教材中没有见到这个现象.这是一个有趣的事,实际上,后面两种在国外的教材中也是很常见的,只是我们一直以来习惯于用“竖线”,这也是在不知不觉中与国际接了个轨.
3.真子集
在沪教版教材中,A真包含于B记为
,这一点与其他教材是不一样的.在我个人看来,我非常喜欢这个表示,它与空间中直线包含于平面的记法
是一致的,含义也是相同的.你认为呢?但是为什么其他教材不采用这种表示方法呢?或许是习惯,或许是历史沿袭,或许还有其他原因,这是一个不是问题的问题,符号使用的标准统一是数学中一个不可忽视的问题.
4.补集
在沪教版教材中,A补集用符号
表示,湘教版也提到了这个符号的使用,这种表示有点类似于对立事件的表示方法,这个与其他版本的教材也是不一致的.这种表示方法虽然便捷,但是没有体现出全集U,因此也不是十分完美,当然了,如果在一个问题中全集是确定的,那么
的表示方法肯定是最简单且方便的.
除此以外,沪教版关于补集的定义如下:
,与其他版本的定义比较可以发现,少了一个字“且”,思来想去,有“且”与没有“且”,还是有区别的,加上“且”,则含义更为明确.人教B版对于“交并补”并没有给出符号定义,只是用“Venn图”进行了描述说明,这个处理方法确实难以让人接受,但是我在想的是,为什么要这样处理?编辑对这个问题是如何考虑的?我想,不给出符号定义并不影响对于集合运算的理解,集合运算的重点是理解运算的本质,就算是进行了符号定义,也不见得就对运算的理解有多大的帮助.不过从数学本身的角度讲,能用符号定义的尽可能用符号定义,这是数学定义标准化的体现.
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