如何证明不可数集(如何证明集合不可数)

时间：2023-04-18 浏览：40 分类：娱乐资讯

数学控制Club--18--2

初看起来,正整数与实数都是无穷多个,难道两个无穷集合还能比较大小吗?对此我们通常就不加以区别,这也是自亚里斯多德时期以来长达两千多年的正统观点.但仔细想来,总觉得应该是所有的实数比正整数多得多.这里涉及到如何比较两类事物的个数问题,或者抽象地讲,任给两个集合,我们该如何说明一个集合中的元素比另外一个集合中的元素多呢?就是这样一个十分基本的比较多少的问题,直到19世纪中叶才由德国数学家康托尔(G.Cantor,

1845-1918)给与解决,他为此而发明的集合理论被希尔伯特赞誉为“19世纪数学中最天才的创造.”

康托尔关于区别无穷的思想虽然是革命性的,却源自我们熟视无睹的一些简单事实,

让我们先从有限集合谈起.给定两个有限集合X和Y,在比较它们中谁的元素更多时,通常的方法是分别数出这两个集合中元素的个数,然后从个数的大小确定哪个集合的元素更多些.

例如,当我们想了解学校里甲乙两个班哪个学生多时,自然是先看看甲乙两个班各自有多少名学生,假如数出的结果是甲班有53名同学,二乙班有48名,从53>48就可断定甲班比乙班的同学要多.但是,如果这两个集合X和Y均为无限集,则上述数元素个数的做法就行不通了.康托尔独具慧眼,他看出单纯地比较两个集合元素多少时,并不一定需要先分别数这两个集合中的元素个数.

例如,当我们想了解在一个电影院里有没有空位时,一般不会去数观众的个数和座位的个数,然后再作比较.只要是一个观众占一个座位,有无空位则是一目了然的.就是这类非常简单的观察和分析,竟然导致了康托尔对待无穷的新观念.事实上,为了比较两个无穷集合,只需要把它们的元素一一对应起来,如果哪一个集合有剩下的元素,则可认为该集合的元素要多.当然,这种比较方法对有限集合同样的适用.

具体来讲,对任意两个集合X,Y,如果存在从X到Y的一一对应,则称X和Y的基数相等,即它们的元素个数一样多.每个集合X均有一个基数,记为|X|,它是通常正整数的推广,对此我们不作更多的说明,只需知道有限集合的基数等于其元素的个数即可.一般地,假如存在X到Y的单射,则称X的基数不大于Y的基数,记为|X|<=|Y|.这样,康托尔对每个集合都定义了一个基数,通过建立一一对应关系,就能够比较任意两个集合的大小了.

康托尔把全体正整数的基数记为$aleph_0$(读作阿列夫零),把有限集合以及具有基数$aleph_0$的集合统称为可数集,这是非常直观的.从1874年开始,康托尔就全力研究其它一些无穷集合的基数问题.

容易看出全体整数的集合Z以及所有的有理数构成的集合Q都能与正整数集合建立一一对应关系,因此它们都是可数集,基数均为$aleph_0$.接下来,当康托尔研究直线以及空间的基数时,却出现了惊人的事实.我们先考虑所有实数构成的集合R,从下述反正切函数

即可建立开区间 (0,1) 到R的一一对应关系,从而二者的基数相等. 因为全体实数与直线上的点能够一一对应,所以,开区间中的点与整个直线上的点一样多.现在的问题是:实数和正整数比起来,哪个更多呢?

通过仔细的分析,康托尔证明了实数的确比正整数要多,从而实数集是不可数集.

康托尔把实数集(他称之为连续统)的基数记为c,它是连续统(continuum)的第一个字母.于是$aleph_0<c$,这是康托尔在集合论方面第一个深刻的结果.特别值得一提的是,他发明了一种“对角线法”,藉此就可以证明上述基数不等式.

接着,在1874年康托尔又着手研究n维空间R^n的基数,他企图证明这是一个更大的基数.但出乎预料的是,三年后康托尔反而证明了R^n与R存在一一对应,即空间的基数都是c.由此表明整个空间R^n中的点竟然和一个线段(0,1)中的点一样的多,这真是不可思议的一件事,无怪乎康托尔本人也对戴德金说道:“我看到了它,但我简直不敢相信它.”

那么,比c更大的基数去哪儿寻找呢?更为深刻的是,在$aleph_0$和c之间还有其它的基数吗? 这两个问题我们留待下回答.